Menentukan Domain dan Range Fungsi

Ket :

Domain / daerah asal dari f(x), notasi Df , yaitu :

Daerah nilai / Range dari f(x) , notasi Rf , yaitu:

Coba kita Aplikasikan ke dalam Soal.

• Menentukan Domain ( Df )

• Menentukan Range ( Rf )

Untuk mencari Rangenya maka ubah nilai x menjadi nilai hasil uji domain yang dicari sebelumnya.

Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak

Definisi Nilai Mutlak 

        Nilai mutlak dari suatu bilangan x dapat diartikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan, dengan tidak memperhatikan arahnya. Ini berarti |x| = 5 memiliki dua selesaian, karena terdapat dua bilangan yang jaraknya terhadap 0 adalah 5: x= –5 dan x = 5 (perhatikan gambar berikut).

Konsep ini dapat diperluas untuk situasi yang melibatkan bentuk-bentuk aljabar yang berada di dalam simbol nilai mutlak, seperti yang dijelaskan oleh sifat berikut.

Sifat Persamaan Nilai Mutlak
Jika X merupakan suatu bentuk aljabar dan k adalah bilangan real positif, maka |X| = k akan mengimplikasikan X = –k atau X = k.

Seperti yang dinyatakan dalam sifat persamaan nilai mutlak, sifat ini hanya dapat diterapkan setelah kita mengisolasi simbol nilai mutlak pada satu ruas. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Selesaikan persamaan: –5|x – 7| + 2 = –13.

Pembahasan Pertama, kita isolasi nilai mutlak, yaitu membuat simbol nilai mutlak berada pada satu ruas sedangkan suku-suku lainnya kita letakkan di ruas yang lain.

Sekarang perhatikan bahwa x – 7 merupakan “X” pada sifat persamaan nilai mutlak, sehingga

Dengan mensubstitusi ke persamaan semula akan memastikan bahwa himpunan selesaiannya adalah {4, 10}.

Catatan Untuk persamaan seperti pada contoh 1 di atas, hati-hati untuk tidak memperlakukan simbol nilai mutlak seperti tanda kurung biasa. Persamaan –5(x – 7) + 2 = –13 hanya memiliki selesaian x = 10, dan tidak memiliki selesaian kedua karena persamaan tersebut memiliki bentuk sederhana x – 7 = 3. Persamaan –5|x – 7| + 2 = –13 dapat disederhanakan menjadi |x – 7| = 3 yang memiliki dua selesaian.

Persamaan nilai mutlak dapat muncul dari berbagai bentuk. Tetapi dalam menyelesaikan persamaan tersebut, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak.

Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak

Tentukan himpunan selesaian dari persamaan: |5 – 2/3 x| – 9 = 8.

Pembahasan Dengan mengisolasi simbol nilai mutlak baru kemudian menerapkan sifat persamaan nilai mutlak, kita mendapatkan

Sehingga, himpunan selesaian dari persamaan tersebut adalah {–18, 33}.

Untuk beberapa persamaan, seringkali kita membutuhkan sifat perkalian persamaan nilai mutlak untuk menyelesaikannya.

Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak
Jika A dan B adalah bentuk-bentuk aljabar, maka |AB| = |A||B|.

Perhatikan bahwa jika A = –1 maka menurut sifat tersebut |–B| = |–1||B| = |B|. Secara umum, sifat tersebut berlaku untuk sembarang konstanta A.

Contoh 3: Menggunakan Sifat Perkalian Persamaan Nilai Mutlak

Tentukan selesaian dari persamaan: |–2x| + 5 = 13.

Pembahasan Seperti pada contoh-contoh sebelumnya, kita harus mengisolasi simbol nilai mutlak baru dapat mengaplikasikan sifat-sifat persamaan nilai mutlak.

Contoh 4: 

Himpunan Pertaksamaan ( menentukan himpunan penyelesaian )

Cara menentukan himpunan penyelesaian :

n  Buat ruas kanan (1.1) menjadi nol  atau

n  Bentuk menjadi

n  Faktorkan atau uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor linier dan atau faktor kuadrat definit positif

n  Tentukan titik pemecah ( pembuat nol ) dari masing-masing faktor linier , lalu gambarkan dalam garis bilangan.

n  Gunakan satu titik uji untuk menentukan tanda ( + atau - ) interval pada garis bilangan

n  Jika tanda pertaksamaan “<“ atau        arsir interval yang bertanda “-”, sebaliknya jika tanda pertaksamaan “>”, maka arsirlah yang “+”.

n  Tulis HP sesuai daerah yang diarsir (perhatikan titik pemecah yang tidak termasuk dalam HP(pd garis bilangan di”bolongkan”)

Coba kita Aplikasikan ke dalam contoh berikut ini :

Permasalahan yang sering terjadi. Dan cara mengatasinya :

Contoh Soal : 

Himpunan Bilangan Real

       Himpunan bilangan real adalah gabungan dari himpunan bilangan Rasional dan himpunan bilangan Irasional. secara lengkapa dapat dilihat pada gambar berikut :

A. Himpunan Bilangan Asli ( N )

Bilangan Asli dapat digolongkan menjadi :

A.   Bilangan Genap, yaitu bilangan asli yang habis dibagi 2. Himpunan bilangan genap dilambangkan dengan huruf G.
Anggota himpunan bilangan genap yaitu, G = { 2, 4, 6, 8, … }.

B.   Bilangan Ganjil, yaitu bilangan asli yang tidak habis dibagi 2. Himpunan bilangan ganjil dilambangkan dengan huruf J.
Anggota himpunan bilangan ganjil yaitu, J = { 1, 3, 5, 7, … }.

C.   Bilangan Prima, yaitu bilangan asli yang tepat memiliki 2 faktor ( 1 dan dirinya sendiri ). Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan huruf P.
Anggota himpunan bilangan prima yaitu P = { 2, 3, 5, 7, 11, …

B. Himpunan Bilangan Bulat ( Z )

       Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut: Dalam operasi pengurangan pada bilangan cacah terdapat bilangan negatif. Misalnya:  3 – 5 = -2 ,  20 – 35 = -15
Bilangan asli, nol dan bilangan negatif dinamakan bilangan bulat.

C. Himpunan Bialangan Rasional ( Q )

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan p, q є B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut: Bilangan rasional (disebut juga bilangan pecahan) adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  dengan p, q є B dan q ≠ 0. Contoh bilangan rasional (Q) = 2; 0,3; ;  ; 1,321321321… Jadi 2 adalah bilangan rasional. Jadi 0,3 adalah bilangan rasional. dan Jelas bilangan rasional. 1,321321321…         dapat dibuktikan sbb: Misal  x = 1,321321321… 1000x = 1321,321321… 1000x–x = (1321,321321…) – (1,321321321…) 999x = 1320 X=  Pecahan desimal berulang lainnya dapat diperlakukan sama. Sehingga disimpulkan bahwa pecahan desimal berulang merpakan bilangan rasional. D. Himpunan Bilangan Real ( R ) Bilangan Real adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dan bilangan irasional atau R = Q   I. Uraian di atas dapat di nyatakan dalam diagram Venn berikut ini : Operasi Himpunan Dua himpunan tak kosong A dan B dapat dioperasikan:  CONTOH :